【解決済み】状態異常の確率計算

[ゼゼゼ]

１０％の確率で状態異常にするスキルを連続５回命中させた場合の状態確率って、結局いくらなんでしょう？
計算式と合わせて教えていただきたいです。

頭の悪い質問ですいません……。

 

[WTR]

およそ41%でしょうか。
5回の試行で少なくとも1回成功する確率を知りたいので
全事象から5回連続で失敗するケースを除外すればよさそうです。

1 - {(0.9) x (0.9) x (0.9) x (0.9) x (0.9)}
= 0.40951
≒ 41%

 

[ゼゼゼ]

＞WTR様

お答えいただきありがとうございます。
ただすみません……。ちょっと公式がよくわからないです。
最初の1は100％の意として、その後の0.9というのはどうやって出てきたのでしょう？　100%‐10％＝0.9？

説明するのは難しいと思うので、参考までに『２０％の確率×５』と、『５％の確率×５』の計算式も同様にお教えいただけるとありがたいです。

 

[WTR]

0.9 は 90%の意味です。毎回10%で成功する = 90%で失敗するってことですね。

20%で成功するなら、80%で失敗するわけですが
80%を連続5回引いた残念な場合を除いて、とりあえず成功したことになります。

1 - {(0.8) x (0.8) x (0.8) x (0.8) x (0.8)}
= 0.67232
≒ 67%

5%の場合はなかなか厳しい確率です。
が、計算式は同じ要領です。

1 - {(0.95) x (0.95) x (0.95) x (0.95) x (0.95)}
= 0.226219
≒ 23%

 

[ゼゼゼ]

＞WTR様

ああ、なるほど。成功率ではなく失敗率を見てるんですね。
なんとなくではありますが理解いたしました。
ご親切に説明いただきありがとうございます。

 

[WTR]

成功率で考えると難しいんですよね。
1回目で成功した場合もOKだし、1回目と2回目連続で成功してもOK。
3回目だけ成功してもいいし、なんなら5回全部成功してもいい。
こういう、少なくとも1回成功する確率をそれぞれ計算してすべて足し合わせれば成功率から導くこともできます。

でも面倒なんで
全部失敗する確率だけ出しておいて、それ以外ならよし！と考えるのが楽ですね。

 

[ゼゼゼ]

＞WTR様

なるほど、奥が深い……のかな……？
頭が良くて羨ましいです。

 

[ネコタ]

１０％の確率で状態異常にするスキルを連続５回命中させた場合の状態確率って、結局いくらなんでしょう？
計算式と合わせて教えていただきたいです。

計算式はWTRさんのものですので、その、原理をお答えします。

まず、確率は全体で100％です。

このうち、1回目は10％の確率で状態異常を与えることができますので、残りの90％が状態異常を与えられなかった確率となります。すなわち、100％-10％＝1-0.1＝0.9が失敗する確率となりますね。

成功①：1＊0.1＝0.1
失敗①：1＊0.9＝0.9

次に、２回目を考えます。

１回目で成功しているものはあと何回成功しようと失敗しようと、すでに状態異常となるため、100％状態異常ありの形となります。よって、ここは省略。

失敗した90％のうち、２回目で成功する確率はそのうちの10％なので、0.9＊0.1。
失敗する確率は90％なので、0.9＊0.9。よって、

成功②：0.9＊0.1＝0.09
失敗②：0.9＊0.9＝0.81

３回目も、同様に考えていきましょう。失敗②＝81％のうち、10％は成功、90％は失敗ですので、

成功③：0.81＊0.1＝0.081
失敗③：0.81＊0.9＝0.729

４回目も同様に考えます。

成功④：0.729＊0.1＝0.0729
失敗④：0.729＊0.9＝0.6561

最後、５回目も同じです。

成功⑤：0.6561＊0.1＝0.06561
失敗⑤：0.6561＊0.9＝0.59049

さて、求めたいのは成功する確率でしたね。

成功する確率は、それぞれの回数で出しましたので、これらを全て足したものが最終的な成功確率となります。

よって、成功①～成功⑤までを足した確率を出すと、
0.1＋0.09＋0.081＋0.0729＋0.06561＝0.40951

約41％ということになります。

最後の失敗⑤は、５回目まで連続で失敗した確率ということになります。



で、ここで考え方を変えてみます。

全体の確率は100％になるわけですが、この時の内訳を考えてみます。
成功と失敗を全部足すと100％になるので、下の式が成り立ちます。

成功（①～⑤）＋失敗⑤＝0.40951＋0.59049＝1（＝100％）

この等式は成り立つので、少し変形します。（具体的には、左辺の失敗⑤を右辺に移します）

成功①～⑤＝１-失敗⑤

さて、ここで失敗⑤は何だったでしょうか？
失敗⑤は失敗④のうち、失敗する確率0.9を掛け算したものなので、

失敗⑤＝失敗④＊0.9　となります。

ところで、失敗④は何だったかというと、同様に考えていってたので、直前の失敗③に0.9をかけたもの、すなわち、

失敗④＝失敗③＊0.9　でした。

ということは、失敗⑤というのは、

失敗⑤＝失敗④＊0.9＝（失敗③＊0.9）＊0.9


そろそろ、見えてきたかと思います。

失敗③は何だったかというと？

失敗③＝失敗②＊0.9　でしたから、これを失敗⑤に当てはめると、

失敗⑤＝失敗③＊0.9＊0.9＝（失敗②＊0.9）＊0.9＊0.9

ここで、失敗②は何だったかというと、失敗②＝失敗①＊0.9　でした。

失敗①はというと、失敗①＝1＊0.9＝0.9　ですので、

失敗⑤＝（失敗②＊0.9）＊0.9＊0.9
　　　＝（[失敗①＊0.9]＊0.9）＊0.9＊0.9
　　　＝0.9＊0.9＊0.9＊0.9＊0.9


そういえば、変形した式はなんだったでしょうか？

成功①～⑤＝１-失敗⑤

でしたね。ということは、今、失敗⑤＝0.9＊0.9＊0.9＊0.9＊0.9　なので、

成功①～⑤＝１-失敗⑤
　　　　　＝1-（0.9＊0.9＊0.9＊0.9＊0.9）

となります。WTRさんの提示した式と同じになりました。


これを、高校数学の教科書的には「余事象」と言います。余事象は、「少なくとも１つが○○である場合」を言い、裏を返せば、「全て××であった場合を、全体から差し引いた場合」のことを表しています。




●まとめ●

すっごい長い説明で訳わからんかったと思いますが、そういう事ですので、とりあえず”○％の確率で状態異常にするスキルを連続×回”なら、その逆”（1-○）％の確率で状態異常にならない場合を×回”掛け算して１から引けばいいんだ、と覚えておきましょう。

＜電卓やExcelで表記した場合＞
＝1-（1-○）^×
※ただし、○は確率を最大１で表した数値（たとえば、10％＝0.1）、×は回数です。

これで、計算できます。試してみてください。
10％でも20％でも５％でも、5回でも10回でも100回でも、一瞬で計算できますよ。

 

[ゼゼゼ]

＞ネコタ様

わざわざご丁寧に解説をいただきありがとうございます。
正直……読んでる途中で訳がわからなくなって全然理解は出来ていないのですが……。しかし最後の計算式は便利ですね。
ありがたく使わせていただきたいと思います。